Cómo calcular los Subgrupos de Zn

Los grupos cíclicos son un subconjunto de todos los grupos con una estructura particularmente fáciles de entender. En particular, los grupos cíclicos pueden ser representados por un conjunto de números con la aritmética de módulo . Por ejemplo, Z15 puede estar formado por los números 0 a 14, con 16 igual a 1 , 17 igual a 2 y así sucesivamente. Estos grupos cíclicos tienen una matemática que les es propia . Una cuestión particularmente interesante , que da una visión profunda en las clases de matemáticas de grado , es lo que los subconjuntos de estos grupos forman los propios grupos . Instrucciones Matemáticas 1

Factor el orden de su grupo . Por ejemplo , si el grupo tiene 18 elementos , su orden es 18: 18 = 2 x 3 x 3 Si el grupo tiene 30 elementos , su orden es de 30: 2 x 3 x 5
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Determinar todos los números posibles que pueden dividir uniformemente en el orden del grupo , basado en la factorización hecho en el Paso 1 en un grupo de orden 18 , esto daría 2 , 3 , 6 y 9 en un grupo de orden 30 , esto le da 2 , 3 , 5 , 6 , 10 y 15 de
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Entender que cada subgrupo de su grupo cíclico debe ser del orden de un factor del orden de su grupo principal. Por ejemplo, para el grupo cíclico de orden 18 , un subgrupo adecuado --- o un subgrupo que es más grande que un elemento y menor que 18 --- elementos deben ser de orden 2, 3 , 6 o 9 , ya que estos son los sólo los números que se pueden tener en cuenta en 18 Adicionalmente , cada subgrupo de un subgrupo de un grupo cíclico deben ser un grupo cíclico.
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Encontrar el elemento más pequeño de cada uno de los números que se encuentran en el paso 2 . en el grupo de orden 18 bajo la adición , 2 es el elemento más pequeño de orden 9 (ya que 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 18 ) , 3 es el elemento más pequeño de orden 6 ( desde 3 + 3 + 3 + 3 + 3 + 3 = 18 ) , 6 es el elemento más pequeño de orden 3 ( desde 6 + 6 + 6 = 18 ) y 9 es el elemento más pequeño de orden 2 ( desde 9 + 9 = 18 ) .
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Determinar los subgrupos formados por estos elementos. En el grupo cíclico de orden 18 , el subgrupo generado por el grupo 2 es { 0 , 2 , 4 , 6 , 8 , 10 , 12 , 14 , 16 } . El subgrupo generado por el grupo 3 es { 0 , 3 , 6 , 9 , 12 , 15 } , y la generada por 6 es { 0 , 6 , 12 } . El subgrupo cíclico de orden 2 es el grupo { 0 , 9 } . Gracias a la combinación de propiedades discutidas en el paso 3 , siempre hay exactamente un subgrupo de un grupo cíclico para cada número que se puede dividir uniformemente en el orden del grupo .